Question

对于函数图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1

对于函数图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点m处的切线l∥AB，则称AB存在“伴侣切线”．特别地，当X0=x1+x22时，又称AB存在“中值伴侣切线”．（1）函数f（x）=x2图象上两点A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侣切线”；（2）若函数f（x）=lnx，试问：在函数f（x）上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）M（2，4），f′2）=2×2=4
y=4x-4…（3分）
检验：kAB＝

9?1

3?1

＝4满足…（4分）
（2）在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”．
假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨设0＜x₁＜x₂，则kAB＝

y2?y1

x2?x1

＝

lnx2?lnx1

x2?x1

…（6分）
在函数图象x₀=

x1+x2

2

处的切线斜率k=f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，
化简得：

lnx 2?lnx1

x2?x1

＝

2

x1+x2

，ln

x2

x1

=

2(x2?x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 ?1)

x2 x1 +1

…（8分）
令

x2

x1

＝t，则t＞1，上式化为：lnt=

2(t?1)

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2
若令g（t）=lnt+

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