Question

设f（x）是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫ x 0f(t)dt是（　　）A．连续的奇函数B．

设f（x）是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫ x 0f(t)dt是（　　）A．连续的奇函数B．连续的偶函数C．在x=0间断的奇函数D．在x=0间断的偶函数

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设g（x）=

∫

x 0

f(t)dt，
∵f（-x）=-f（x）
则g（-x）=

∫

?x 0

f(t)dt

令u＝?t

.

-

∫

x 0

f(?u)du=

∫

x 0

f(u)du＝g(x)
∴g（x）是偶函数
又由f（x）在[0，x]可积，知f（x）在[0，x]是有界的．（不妨假设f（x）在x=0有定义以及x＞0）
∴?M＞0，使得|f（x）|≤M
∴g（x）在x=0处的增量|△g（x）|=|g（0+△x）-g（0）|=|

∫

△x 0

f(t)dt|≤M?△x
∴

lim

△x→0

△g(x)＝0＝g(0)
∴g（x）在x=0处连续
故选：B．

Answer 3

证明：设f(x)=∫(0,x)f(t)dt
f(-x)=∫(0,-x)f(t)dt，对此积分，代换t=-y，代入得：
f(-x)=∫(0,-x)f(t)dt=∫(0,x)[-f(-y)]dy=∫(0,x)[-f(-t)]dt
如果f(t)是连续的奇函数,那么：f(-t)=-f(t)
，f(-x)=∫(0,x)[f(t)]dt=f(x)，f(x)为偶函数。
如果f(t)是连续的偶函数,那么：f(-t)=f(t)
，f(-x)=∫(0,x)[-f(t)]dt=-f(x)，f(x)为奇函数。