Question

已知函数f（x）=x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根

已知函数f（x）=x3+bx2+xc+d（b、c、d为常数），当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，现给出下列4个命题；①函数f（x）有2个极值点；②函数f（x）有3个极值点；③f（x）=4和f′（x）=0有一个相同的实根；④f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根；其中正确命题的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

∵函数f（x）=x³+bx²+xc+d，∴f′（x）=3x²+2bx+c
由题意，当k∈（-∞，0）∪（4，+∞）时，f（x）-k=0只有一个实根，当k∈（0，4）时，f（x）-k=0有3个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，故①正确，②错误；
f（x）-4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故③正确；
f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故④正确，
故正确命题的个数是3个
故选C．