Question

已知x，y满足约束条件x?y?1≤02x?y?3≥0，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件下取到最小值25时，

已知x，y满足约束条件x?y?1≤02x?y?3≥0，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为______．

Answer 1

由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y＝?

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，
∴直线的斜率?

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y＝?

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y＝?

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y＝?

a

b

x+

z

b

的截距最小，此时z最小．
由

x?y?1＝0 2x?y?3＝0

，解得

x＝1 y＝2

，即A（1，2），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2

5

，
即a+2b=2

5

，
在点P（a，b）在直线x+2y=2

5

，
则原点到直线的距离d=

|2 5 |

12+22

＝

2 5

5

＝2，
即a²+b²的最小值d²=4，
故答案为：4