Question

如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，过点C作半圆M的切线交半圆M于点D，延长AD交圆O

如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，过点C作半圆M的切线交半圆M于点D，延长AD交圆O于点E，若AB等于4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解答：解：∵CD与半圆M相切，
∴DC⊥MD，
∵AB=4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点，
∴AM=OM=OC=CB=1，
在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2，
∴DM=

1

2

MC，即∠DCM=30°，
∴∠DMC=60°，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA=30°，
∴∠EOB=60°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴OD=

1

2

OA=1，AD=

22?12

=

3

，
∵OD⊥AE，
∴AE=2AD=2

3

，
∴DF=

1

2

AD=

3

2

，AF=

( 3 )2?( 3 2 )2

=

3

2

，
∴AC=2AF=3，
则S_阴影=S_△AOE+S_扇形EOB-S_△ACD=

1

2

×2

3

×1+

60π×22

360

-

1

2

×3×

3

2

=

3

4

+

2π

3

．