Question

如图所示，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，M是圆O上任意点（除去圆O与两坐标

如图所示，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，M是圆O上任意点（除去圆O与两坐标轴的交点）．直线AM与直线BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM、PN的斜率分别为m、n．（Ⅰ）求直线BC的方程；（Ⅱ）求点P、M的坐标（用m表示）；（Ⅲ）是否存在一个实数λ，使得m+λn为定值，若存在求出λ，并求出这个定值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，1），
设直线BC的方程为：y=kx+b，
则k+b=0，b=1，
解得：k=-1，b=1，
故直线BC的方程为：y=-x+1，即x+y-1=0．…①
（II）由A点坐标为（-1，0），直线AM即直线PM的斜率为m，
故直线AM即直线PM的方程为：y=m（x+1）…②
由①②得：x=

1?m

1+m

，y=

2m

1+m

，
即P点的坐标为：（

1?m

1+m

，

2m

1+m

），
将②代入x²+y²=1得：
（m²+1）x²+2m²x+（m²-1）=0
解得：x=-1（舍）或x=

1?m2

1+m2

，
则y=

2m

1+m2

，
故M的坐标为：（

1?m2

1+m2

，

2m

1+m2

）；
（III）由（II）得：M的坐标为：（

1?m2

1+m2

，

2m

1+m2

）；
结合C点坐标为（0，1），故k_CM=

2m 1+m2 ?1

1?m2 1+m2

=

m?1

m+1

，
故直线CM的方程为：y=

m?1

m+1

x+1，
令y=0，得x=

1+m

1?m

，
故N点的坐标为（

1+m

1?m

，0），
由直线PN的斜率为n．
故n=

2m 1+m

1?m 1+m ? 1+m 1?m

=

m?1

2

若存在一个实数λ，使得m+λn为定值k，
则m+λn=m+

λm?λ

2

=k，
即（λ+2）m-（λ+k）=0恒成立，
故λ=-2，k=2．