Question

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）的

已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）的值，（2）求证：f（x）是奇函数，（3）举出一个符合条件的函数y=f（x）．

Answer 1

（1）∵对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=0、y=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）…（1分）
∴f（0）=0…（2分）
（2）∵对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
令y=-x，有f（x-x）=f（x）+f（-x）…（4分）
∴f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），x∈R…（5分）
∴函数f（x）是奇函数．…（6分）
（3）符合条件的函数f（x）=2x（答案不止一个只要符合要求都算正确）…（8分）