Question

已知函数f（x）=x2-alnx+x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ

已知函数f（x）=x2-alnx+x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-lnx+x，f（1）=2，此时点A（1，2），f′(x)＝2x?

1

x

+1，
∴切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为：y-2=2（x-1），
即y=2x…（5分）
（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝2x?

a

x

+1＝

2x2+x?a

x

…（7分）
令g（x）=2x²+x-a（x＞0）
（1）当△=1+8a≤0，即a≤?

1

8

时，g（x）≥0，
∴?x∈（0，+∞），f′（x）≥0，
∴f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当△=1+8a＞0，即a＞?

1

8

时，此时g（x）=0有两个根：x1＝

?1? 1+8a

4

＜0，x2＝

?1+ 1+8a

4

①若x2＝

?1+ 1+8a

4

≤0??

1

8

＜a≤0时，f′（x）≥0，?x∈（0，+∞）
②若x2＝

?1+ 1+8a

4

＞0?a＞0时，当x∈(0，

?1+ 1+8a

4

)，f′(x)＜0；
当x∈(

?1+ 1+8a

4

，+∞)，f′(x)＞0
综上可知：（1）当a≤?

1

8

时时，f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当a＞?

1

8

时，f（x）的减区间是(0，

?1+ 1+8a

4

)，增区间是(

?1+ 1+8a

4

，+∞)…（13分）