Question

（2014?唐山三模）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=BC．（1）求证A1

（2014?唐山三模）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=BC．（1）求证A1A⊥A1C；（2）若A1A=A1C，求二面角B-A1C-B1的余弦值．

Answer 1

（1）∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁A⊥BC，
∵A₁B⊥C₁C，A₁A∥CC₁
∴A₁A⊥A₁B，
∴A₁A⊥平面A₁BC，
∴A₁A⊥A₁C；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C-xyz．
设AC=BC=2，
∵A₁A=A₁C，
则A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（1，0，1），C（0，0，0）．

CB

=（0，2，0），

CA1

=（1，0，1），

A1B1

=

AB

=（-2，2，0）．
设

n1

=（a，b，c）为面BA₁C的一个法向量，则

n1

?

CB

=

n1

?

CA1

=0，
则

2b＝0 a+c＝0

取a=1，

n1

=（1，0，-1）．
同理，面A₁CB₁的一个法向量为

n2

=（1，1，-1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 ? n2

. n1   . . n2   .

=

6

3

，