Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an2n}是等差数列；（Ⅱ）若不等式2n2-n-3＜（5-λ

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1．（Ⅰ）证明：数列{an2n}是等差数列；（Ⅱ）若不等式2n2-n-3＜（5-λ）an对?n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2²得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以

an

2n

?

an?1

2n?1

＝

2an?1+2n

2n

?

an?1

2n?1

＝

an?1

2n?1

+1?

an?1

2n?1

＝1．
又

a1

21

＝2，
所以数列{

an

2n

}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

2n

＝n+1，即a_n=（n+1）?2ⁿ．
因为a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n等价于5?λ．＞

2n?3

2n

设{bn} ＝

2n?3

2n

，则b₁=-

1

2

；b₂=

1

4

；b₃=

3

8

；b4＝

5

16

…
∴.(bn)max＝b3＝

3

8

∴λ＜

37

8

．