Question

正数a、b满足a+b+1=ab，则3a+2b的最小值是多少

为什么不能3a+2b≥2根号3a*2b
然后3a=2b,根据a+b+1=ab，得出a=2，b=3呢

Answer 1

这个思路是错误的哦
3a=2b是3a+2b≥2根号3a*2b
取等号的时候的情况
a=2，b=3你代进去可以发现等号不成立的哦~

a+b+1=ab
ab-a-b+1=2
(a-1)(b-1)=2

3a+2b
=5+3(a-1)+2(b-1)
>=2根号[3(a-1)*2(b-1)]+5
当且仅当a-1=b-1时，取到
此时最小值为5+4根号3

追问

a=2，b=3代哪里可以发现等号不成立？

追答

3a+2b≥2根号3a*2b
3a=2b时，是不是3a+2b=2根号3a*2b
（基本不等式的意义）
那么你解出a=2,b=3代入，可以发现3a+2b=12,此时2根号3a*2b=2√12=4√3，两者不相等！

追问

不对呀，2√3a*2b不是等于12吗？而且为什么要算a-1和b-1

追答

额，我知道哪里错了
3a+2b≥2根号3a*2b
你用3a=2b来解出a和b的值，但你能保证a和b的搭配是最小的吗
换句话说，你求出的只是a=2，b=3时的最小值

而我的做法呢
3a+2b
=5+3(a-1)+2(b-1)
>=2根号[3(a-1)*2(b-1)]+5
当且仅当a-1=b-1时，取到

整体代入！无需考虑a和b的搭配是否是最合适的
换句话说我的做法做出来的答案是在所有a和b中取到的最小值

追问

弱弱地问一下，为什么整体代入无需考虑a和b的搭配是否是最合适的

追答

整体代入包括了所有情况啊~

Answer 2

前面是a=b后面是3a=2b所以不行，不是同时成立

追问

前面哪里有用到a=b？