Question

在△ABC中,若tanA=1/2,tanB=1/3,最长边的长度为1,求（1）∠C的大小 （2）最短边的长度

Answer 1

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(1/2+1/3)/[1-(1/2)*(1/3)]=1
由于tanC=tan[180-(A+B)]= -tan(A+B)= -1
于是由tan(A+B)=1 可知，A+B=45度。最大角C为135度。

1+tan^2 A=1+1/4=5/4=1/cos^2 A 则cos^2 A=4/5 cosA=2/√5 [锐角余弦为正]
sinA=√[1-cos^2 A]=1/√5
同理，cosB=3/√10 sinB=1/√10 cosC= -1/√2[ 钝角余弦为负] sinC=1/√2
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=1/(1/√2)=√2
所以最小边b=√2sinB=√2*(1/√10)=1/碰迅√5=√5/5.

【另法】
由已知可知角A，角B都是稿昌锐角，且B<A,
所以AC为最短边
过C作AB的高CD，
由tanA=1/2,
可知CD/AD=1/2，
又tanB=1/3,
可知CD/BD=1/3，
所以AD/BD=2/3，
又最长边AB=1，
知AD=2/5，
又CD/AD=1/2，
知CD=1/5，
所以AC可由勾股定理求得
AC=根号（4/25+1/25）=根笑敬此号（1/5）=根号（5）/5.

Answer 2

(1)
由tan(A+B)，得
=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=1
0<A+B<180度，所以A+B=45度
所以C=135度

(2)
由tanA>tanB,0<A,B<45度
可知A>B,即C>A>B,可知AC是最短边,AB是最长边
AC/sinB=AB/sinC 又sinC=根号2/2
所以AC=根号2*sinB
由sinB/cosB=tanB=1/3
sinB的平方+cosB的平方=1
得到sinB=±根号10/10
又0<B<45度,所以sinB=根号10/兆虚弊誉明10
即可知△ABC最族族短边的长度AC=根号5/5