Question

设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数且f''(x)不等于0，试证

对于（-1,1）内的任一x不等于0，存在唯一的g(x)属于（-1,1），使f(x)=f(0)+xf'(g(x)x)成立

Answer 1

简单。对F(X)在[0，X]上用拉格朗日中值定理，f(x)-f(0)=xf'(e*x).其中0<e<1。当t不等于e时,t*X不等于e*x，又因为二阶导不为零，所以一阶导单调。推出f'(e*X)不等于f'(t*x)。于是对于每个X，e是维一的。可写成e(X).再另g(X)=e(X),则找到了这么一个满足条件的g(X).

Answer 2

简单。对F(X)在[0，X]上用拉格朗日中值定理，f(x)-f(0)=xf'(e*x).其中0<e<1。当t不等于e时,t*X不等于e*x，又因为二阶导不为零，所以一阶导单调。推出f'(e*X)不等于f'(t*x)。于是对于每个X，e是维一的。可写成e(X).再另g(X)=e(X),则找到了这么一个满足条件的g(X).