Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F， （1）判断DF

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F， （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．

Answer 1

解：（1）DF与⊙O相切．理由如下： 连接OD．   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°， ∴∠DOB=∠C=60°， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴DO⊥DF， ∴DF与⊙O相切； （2）连接CD．∵CB是⊙O直径， ∴DC⊥AB． 又∵AC=CB=AB， ∴D是AB中点， ∴AD= ． 在直角三角形ADF中，∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°， ∴ ， ∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6． ∵FH⊥BC， ∴∠FHC=90°． ∵∠C=60°， ∴∠HFC=30°， ∴ ， ∴ ．