Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。（1）求证：FD 2 =FB·FC； （2）若G是BC的中点，连结GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。

Answer 1

证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点， ∴DE=EA，∴∠A=∠2， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠A， ∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠A， ∴∠FDC=∠FBD ∵∠F是公共角， ∴△FBD∽△FDC， ∴FD 2 =FB·FC； 解：（2）GD⊥EF， 理由如下：∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DG=GC，∴∠3=∠4， 由（1）得∠4=∠1，∴∠3=∠1， ∵∠3+∠5=90°，∴∠5+∠1=90°， ∴DG⊥EF。