Question

已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD（如图）

已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．

Answer 1

（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形， ∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中 AB=BD ∠ABE=∠DBC BE=BC     ∴△ABE≌△DBC（SAS） ∴AE=DC， ∵M、N分别为AE、CD的中点， ∴AM= 1 2 AE，CN= 1 2 DC ∴AM=CN； （2）∵△ABE≌△DBC， ∴∠EAB=∠CDB， 在△AMB和△DNB中 AM=DN ∠MAB=∠NDB AB=DB    ∴△AMB≌△DNB（SAS）， ∴∠ABM=∠DBN， ∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°， ∴∠DBN+∠MBD=60°， 即∠MBN=60°； （3）图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC； 相似三角形有：△ABD ∽ △BCE，△ABD ∽ △BMN，△BMN ∽ △BCE．