Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C做匀速运

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C做匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A做匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N、P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒。（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）在直角梯形ABCD中， ∵QN⊥AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABNQ是矩形， ∵QD=t，AD=3， ∴BN=AQ=3-t， ∴NC=BC-BN=4-（3-t）=t+1， ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°， ∴AC=5， ∵AB∥QN， ∴MN∥AB， ∴ 即 ， ∴ ；
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形， ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC， 要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为 ， ∴ 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵△ABC的周长的一半 ， ∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分；
（4）分3种情况： ①如图（1）， 当PM=MC时，△PMC为等腰三角形， 则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴ ， 即 时，△PMC为等腰三角形； ②如图（2），当CM=PC时，△PMC为等腰三角形， 即 ，解得 ∴ 时，△PMC为等腰三角形； ③如图（3），当PM=PC时，△PMC为等腰三角形， ∵PC=4-t，NC=t+1， ∴PN=2t-3， 又∵ ， ∴ ， 由勾股定理可得 ， 解得 ，t 2 =-1（舍去）， 即当 时，△PMC为等腰三角形， 综上所述，当t= ， ， 时，△PMC为等腰三角形。