Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q； （1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形OABC为矩形 ∴∠OAP=∠QBP=90°， ∵∠OPQ=90°， ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP， ∴∠BPQ=∠AOP， ∴△AOP∽△BPQ， ∴ ， ∴OA·BQ=AP·BP；
（2）由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ=m（4-m）， ∴ ， ∴CQ=3- ， 即L= = ， ∴当m=2时，L（最小）= ；
（3）∵∠OPQ=90°， ∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ， 当点P在线段AB上时，如图（1）， △AOP≌△BPQ， ∴PB=AO=3， ∴AP=4-3=1， ∴P 1 （1，3）， 当点P在线段AB的延长线上时，如图（2） 此时△QBP≌△PAO， ∴PB=AO=3， ∴AP=4+3=7， ∴P 2 （7，3）， 当点P在线段AB的反向延长线上时，如图（3） 此时∵PB＞AB＞AO， ∴△PQB不可能与△OPA全等， 即PQ不可能与PO相等，此时点P不存在， 综上所述，知存在P 1 （1，3），P 2 （7，3）。