Question

两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外，以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影

两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外，以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065， (Ⅰ)将y表示成x的函数； (Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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Answer 1

解：(Ⅰ)如图，由题意知，AC⊥BC，BC 2 =400-x 2 ，  ， 其中当 时，y=0.065，所以，k=9， 所以，y表示成x的函数为 。  (Ⅱ) ，   ， 令y′=0得 ，所以， ，即x= ， 当0＜x＜ 时， ，即y′＜0，所以，此时函数为单调减函数； 当 ＜x＜20时， ，即y′＞0，所以，此时函数为单调增函数， 所以，当x= 时，即当C点到城A的距离为 时， 函数 有最小值。