Question

已知函数f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，其中e为自然常数， （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ

已知函数f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，其中e为自然常数， （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）a=1，f（x）=x-lnx，x∈(0，e]， ， 令f′（x）=0， 即： ，解得x=1； 令f′（x）＞0， 即： ，解得1＜x≤e； 令f′（x）＜0， 即： ，解得0＜x＜1； ∴f（x）的单调增区间为(1，e]，单调减区间为（0，1）， f（x）在x=1处取得极小值为f（1）=1； （Ⅱ） ， （1）若 ， ∵x∈(0，e]， ∴f′（x）＜0， ∴f（x）在(0，e]上是减函数， 此时 （舍）； （2）若a＞0，令f′（x）=0，即： ； 令f′（x）＞0，即： ； 令f′（x）＜0，即： ； ①若 ，此时f（x）在(0，e]上是减函数， （舍）； ②若 ，此时f（x）在(0，e]上左减右增， ； 综上可知：存在 ，使得f（x）的最小值是3。