Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．（1）求证：EH∥平面PBA；（2）求三棱锥P-AFH的体积．

Answer 1

（1）证明：∵平面ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵PA=AB，
∴PA=AD，
∵AB=BC，∠B=60°，BE=EC，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=90°，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AE，即∠PAE=90°，
∴△PAE≌△DAE，
∴PE=PD，
∵EH⊥PD，
∴H为PD的中点，
∵FH∥CD∥AB，
∴FH∥平面PAB，
∵E，F分别为BC，PC的中点
∴EF∥AB，
∵AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵EF∩FH=H，EF?平面EFH，FH?平面EFH，
∴平面EFH∥平面PAB，
∵EH?平面EFH，
∴EH∥平面PAB．
（2）∵F，H为中点，
∴V_P-AFH=

1

4

V_P-ACD=

1

4

?

1

3

?

1

2

?2?2?sin60°?2=

3

6