函数f(x) 的定义域为R，且对任意x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x>0 时，f(x)＜0,且f(1)=－2.（Ⅰ

函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x>0时，f(x)＜0,且f(1)=－2.（Ⅰ）求证：f(x)既是奇函数又是R上的减... 函数f(x) 的定义域为R，且对任意x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x>0 时，f(x)＜0,且f(1)=－2.（Ⅰ）求证：f(x) 既是奇函数又是R上的减函数；（Ⅱ）求f(x)在[－3,3]的最大值和最小值. 展开

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#热议# 不吃早饭真的会得胆结石吗？

萌伊1735
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（Ⅰ）见解析（Ⅱ）f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6

本试题主要是考查了函数的奇偶性和单调性的运用。
（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0)，故∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数，并运用定义法证明单调性。
（2）∵f(x)在R上单调递减，
∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3)从而得到。
解：（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)="f(0)" ………………………(2分)
∴f(0)+f(0)=f(0)即f(0)=0
∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数………………………(4分)
又任取

且

∵则

…………………（6分）
∵

∴

，f(x)是R上的减函数………………………(8分)
（1）∵f(x)在R上单调递减，
∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3) ………………(9分)
由f(1)=-2得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6
又f(-3)=-f(3)=6……………(11分)
∴f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6……………………(12分)