Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数y=f（x）的图象经过点（0，0），（-1，0），

已知函数f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数y=f（x）的图象经过点（0，0），（-1，0），求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a=b=1，函数y=f（x）与直线y=2的图象有两个不同的交点，求c的值．

Answer 1

（1）把点P（-1，0）代入y=f（x）得-a+b+c=0，又c=0，故a=b
由f’（x）=3ax²+2ax=ax（3x+2）=0得，x₁=0，x₂=-

2

3

，
故当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

3

），（0，+∞）
单调递减区间是（-

2

3

，0）
当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（-∞，-

2

3

），（0，+∞）
单调递增区间是（-

2

3

，0）（6分）
（2）当a=b=1时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

3

），（0，+∞），
单调递减区间是（-

2

3

，0）
故当x=-

2

3

时，f（x）取极大值为f（-

2

3

）=-

8

27

+

4

9

+c，
当x=0时，f（x）的极小值为f（0）=c
要使函数y=f（x）与直线y=2的图象有两个不同的交点，则必须满足-

8

27

+

4

9

+c=2或c=2
故c=

50

27

或2．（6分）