Question

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三

如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．（1）已知椭圆C1：x24+y2=1和C2：x216+y24=1，判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

Answer 1

（1）椭圆C₂与C₁相似．
因为C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为2

3

的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为

3

的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1
（2）假定存在，则设M、N所在直线为y=-x+t，MN中点为（x₀，y₀）．
则

y＝?x+t x2 4b2 + y2 b2 ＝1

∴5x²-8xt+4（t²-b²）=0．
所以x₀=

x1+x2

2

=

4t

5

，y₀=

t

5

．
中点在直线y=x+t上，所以有t=-

5

3

．