（2014?惠州模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所
（2014?惠州模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（1）求此正三棱柱的侧棱长；...
（2014?惠州模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（1）求此正三棱柱的侧棱长；（2）求二面角A-BD-C的余弦值大小．
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（1）设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x．
取BC中点E，连AE．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．…（1分）
又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC．
∴AE⊥侧面BB1C1C．连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为∠ADE=45°． …（4分）
在Rt△AED中，tan45°=
=
，解得x=2
． …（5分）
∴此正三棱柱的侧棱长为2
．…（6分）
（2）过E作EF⊥BD于F，连AF，
∵AE⊥侧面BB1C1C，∴AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．…（9分）
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，
又BE=1，sin∠EBF＝
=
取BC中点E，连AE．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．…（1分）
又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC．
∴AE⊥侧面BB1C1C．连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为∠ADE=45°． …（4分）
在Rt△AED中，tan45°=
| AE |
| ED |
| ||||
|
| 2 |
∴此正三棱柱的侧棱长为2
| 2 |
（2）过E作EF⊥BD于F，连AF，
∵AE⊥侧面BB1C1C，∴AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．…（9分）
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，
又BE=1，sin∠EBF＝
| CD |
| BD |
| ||||
|
