观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由.(1)如图,△ABC中,P为边BC上一点,试观

观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由.(1)如图,△ABC中,P为边BC上一点,试观察比较BP+PC与AB+AC的大小,并说明理由.(2)将(1)中点... 观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由.(1)如图,△ABC中,P为边BC上一点,试观察比较BP+PC与AB+AC的大小,并说明理由.(2)将(1)中点P移至△ABC内,得图②,试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(3)将(2)中点P变为两个点P1、P2得下图,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(4)将(3)中的点P1、P2移至△ABC外,并使点P1、P2与点A在边BC的异侧,且∠P1BC<∠ABC,∠P2CB<∠ACB,得图,试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.(5)若将(3)中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内,得四边形B1P1P2C1,如图⑤,试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由. 展开
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(1)BP+PC<AB+AC,理由:三角形两边之和大于第三边,或两点之间线段最短.

(2)△BPC的周长<△ABC的周长.理由:
如图,延长BP交AC于M,在△ABM中,BP+PM<AB+AM,在△PMC中,PC<PM+MC,两式相加得BP+PC<AB+AC,于是得:△BPC的周长<△ABC的周长.

(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长.理由:
如图,分别延长BP1、CP2交于M,由(2)知,BM+CM<AB+AC,又P1P2<P1M+P2M,可得,BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC,可得结论.
或:作直线P1P2分别交AB、AC于M、N(如图),△BMP1中,BP1<BM+MP1,△AMN中,MP1+P1P2+P2M<AM+AN,△P2NC中,P2C<P2N+NC,三式相加得:BP1+P1P2+P2C<AB+AC,可得结论.

(4)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长.理由如下:将四边形BP1P2C沿直线BC翻折,使点P1、P2落在△ABC内,转化为(3)情形,即可.
(5)比较四边形B1P1P2C1的周长<△ABC的周长.理由如下:
如图,分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H,在△BNM中,NB1+B1P1+P1M<BM+BN,又显然有,B1C1+C1K<NB1+NC+CK,及C1P2+P2H<C1K+AK+AH,及P1P2<P2H+MH+P1M,将以上各式相加,得B1P1+P1P2+P2C+B1C1<AB+BC+AC,于是得结论.
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