Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an+2，a1=-2（1）证明数列{an}是等比数列（2）数列{bn}满足b1=1，bn+1

设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an+2，a1=-2（1）证明数列{an}是等比数列（2）数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+13an，求数列{bn}的通项公式（3）数列{cn}满足cn=log2（5-3bn），求数列{cn?an}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）S_n=2a_n+2，S_n-1=2a_n-1+2，（n≥2），两式相减并整理得a_n=2a_n-1，（n≥2），
由a₁=-2≠0，所以数列{a_n}是等比数列
（2）由（1）得知，数列{a_n}公比为2，其通项公式为a_n=-2?2^n-1=-2ⁿ
所以b_n+1-b_n=

1

3

an=?

1

3

?2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=?

1

3

?（2^n-1+2^n-2+…+2¹）+1
=?

1

3

?

2(1?2n?1)

1?2

+1
=?

1

3

?2n+

5

3

（3）c_n=log₂（5-3b_n）=n，c_n?a_n=-n?2ⁿ
∴T_n=-（1×2¹+2×2²+…n×2ⁿ）
∴2T_n=-（1×2²+2×2³+…n×2ⁿ⁺¹）
两式相减得出
-T_n=-（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n?2ⁿ⁺¹
=-

2(1?2n)

1?2

+n?2ⁿ⁺¹
=2-（1-n）?2ⁿ⁺¹
T_n=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2