Question

【求助】量子力学问题：

1.是否可观测量对应的算符一定是厄米算符？
2.彼此相互对易的算符是否必然存在共同的本征函数系？
3.对相互对易的算符，不确定原理的推导自然是平庸的结果（⊿A⊿B≥0，A,B为对应可观测量），但这是否必定意味着A,B可同时精确测量？
若不深追究，以上命题只需接受即可，不过希望高人能更理性的给出论证，尤其是从数学角度分析。

Answer 1

我自己的见解，仅供参考
1.可观测量在物理学中就是指力学量，所有的力学量都可以用厄米算符表示，即可观测量都对应厄米算符，是没有问题的。
2.彼此对易的两个可观测量之间必定存在共同的本征函数系，这里特别说是本征函数系，而不是一个或是若干个本征函数，证明：
若[A,B] = 0 且 Af=Anf , 在非简并的情况下，可知：A(Bf)=B(Af)=BAnf=AnBf,可知Bf也是A的本征态，本征值为An，由于An非简并，则Bf与f最多只能差一个常数因子，记为Bn，即Bf=Bnf，则f本身就是A和B的共同本征态，本征值是An和Bn，
简并的情况下经过重新组合并利用奇次线性方程非平庸解的条件可证明，不是很方便写，不懂的话Hi我吧。
3.由于两个算符对易，也就是说会有共同的本征函数系，选取共同的本征函数系作为希尔伯特空间基矢，在这样的空间中经行测量这个两个算符的话，有确定的值，即A，B可以同时精确测量，如果选取的空间基矢不是共同本征函数系构成的话，就会产生不确定性关系。

Answer 2

1：一个算符如果非厄密，那它的本征值就可能是复数，可观测量只能是实数。而且，大多数可观测量都存在一个物理的本征态（至少是理想上物理的），比如p，H，很多计算时也用x本征态（比如QCD核子问题），非厄密算符的本征态很多不能归一化，而且压根不是反射态。但就像喀兴林高量书上说的，厄密量且不说RL矢量之类的量，连角动量都不知道怎么观测，所以不是所有厄密的都可观测的，但可观测的都是厄密的。
2:1楼的说法是错的，LZ和L＾2对易，有共同本征态，所以才有了化学上的spdf。只要算符不是奇异的，都差不多，线代上学的。
3：对易表明物理上存在AB共同本征态，测量都是测本征态，至于哥本哈根学派什么测量A会对态造成影响之类的，目前大多人认为这太假了，比如盖尔曼，人类不知道技术的测量和理论有什么关系，至少目前不知道。

Answer 3

1.QM中，可观测量也叫力学量，显然，力学量必然都是Hermite算符。因此，可观测量对应的算符一定是Hermite算符。
2.这不一定。比如说，角动量算符的某些分量与角动量算符的平方对易，但不存在共有的本征函数系。
3.相互对易的算符，仍然满足不确定性原理。比如说，x与p对易，但⊿x⊿p≥h/2(h为那个小Planck常量）。显然这意味着x、p不可能同时精确测量。
PS：曾谨言《量子力学导论》写的相当有内涵，LZ可以去专研深究下！

Answer 4

一楼回答得有点问题：第一点回答的应该没什么问题。对于第二点，显然角动量算符平方与其任意分量有共同本征函数，但只有彼此対易的厄米算符有共同的本征函数。
对第三点，位置算符x和动量算符p显然不对易，按照第二条，相互对易的力学量算符（厄米算符）显然具有共同本征态，系统若处于某个本征态上，测量值结果自然为这两个算符的本征值，若系统处于叠加态上，由于测量导致的“波函数坍缩”，也会坍缩到其中的某个本征态上而被测准。但这并不意味之后系统一直处于这个本征态中，除非系统处于定态，也就是系统哈密顿量不含时。