Question

求方程7x+19y=213的所有正整数解

求方程7x+19y=213的所有正整数解．

Answer 1

用方程 7x+19y=213① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得 x= 213-9y 7 =30-2y+ 3-5y 7 ② 因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则 y= 3-7u 5 =-u-+ 3-2u 5 ③， 令 3-2u 5 =v，则2u+5v=3．④ 由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2， 代入②得x=25．于是方程①有一组解x 0 =25，y 0 =2， 所以它的一切解为 x=25-19t y=2+7t ， 由于要求方程的正整数解，所以 25-19t＞0 2+7y＞0 ， 解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为： x=25 y=2 和 x=6 y=9 ．