Question

如图，已知抛物线y=x 2 +bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与

如图，已知抛物线y=x 2 +bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜ 5 +1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意把点（1，-5）、（-2，4）代入y=x 2 +bx+c得： b+c=-6 -2b+c=0 ， 解得b=-2，c=-4，（3分） ∴此抛物线解析式为：y=x 2 -2x-4； （2）由题意得： y=x y= x 2 -2x-4 ， ∴x 2 -3x-4=0， 解得：x=4或x=-1（舍）， ∴点B的坐标为（4，4）， 将x=m代入y=x条件得y=m， ∴点N的坐标为（m，m）， 同理点M的坐标为（m，m 2 -2m-4），点P的坐标为（m，0）， ∴PN=|m|，MP=|m 2 -2m-4|， ∵0＜m＜ 5 +1， ∴MN=PN+MP=-m 2 +3m+4； （3）作BC⊥MN于点C， 则BC=4-m，OP=m， S= 1 2 MN?OP+ 1 2 MN?BC， =2（-m 2 +3m+4）， =-2（m- 3 2 ） 2 +12 1 2 ，（11分） ∵-2＜0， ∴当m- 3 2 =0，则m= 3 2 时，S有最大值．