Question

若二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[

若二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

(1) f(x)＝x 2 －x＋1.(2) (－∞，－1)．

试题分析：(1)由f(0)＝1得，c＝1.                     1分 ∴f(x)＝ax 2 ＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1) 2 ＋b(x＋1)＋1－(ax 2 ＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，∴ ∴         5分 因此，f(x)＝x 2 －x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x 2 －x＋1>2x＋m，                 6分 即x 2 －3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x 2 －3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．   8分 ∵g(x)＝x 2 －3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x) min ＝g(1)＝－m－1，                                10分 由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．          12分 点评：对于二次函数f(x)=ax 2 +bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即：f(x)>0恒成立 ；f(x)<0恒成立 ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解