Question

设函数f（x）=e x sinx（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和

设函数f（x）=e x sinx（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=e x sinx， ∴f′（x）=e x （sinx+cosx）= 2 e x sin(x+ π 4 ) ． 由f′（x）≤0，得 sin(x+ π 4 )≤0 ， ∴ 2kπ+π≤x+ π 4 ≤2kπ+2π ，即 2kπ+ 3π 4 ≤x≤2kπ+ 7π 4 ． ∴f（x）的单调减区间为 [2kπ+ 3π 4 ，2kπ+ 7π 4 ]，k∈Z ； （2）∵x∈[0，π]， 由（1）知， x∈[0， 3π 4 ] 是单调增区间， x∈[ 3π 4 ，π] 是单调减区间，又 f(0)=0，f(π)=0，f( 3 4 π)= 2 2 e 3 4 π ， ∴ f max =f( 3π 4 )= 2 2 e 3π 4 ，f min =f（0）=f（π）=0．