Question

已知函数f（x）=x+ （a∈R），g（x）=lnx，（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的

已知函数f（x）=x+ （a∈R），g（x）=lnx，（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（2）若关于x的方程 =x·[f（x）-2e]（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值。

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Answer 1

解：（1）函数 的定义域为（0，+∞）， ∴ ， ①当 ， ∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当 时， 令 ， 解得 ， （ⅰ）若 ， ∴ ， ∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增； （ⅱ）若a＞0，则 ； ， ∴函数F（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； （2）令 ， 令 ， 当 ， ∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间 上单调递减， ∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为 ， 而函数 ， 当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为 ， ∴当 时，方程 只有一个根。