Question

设非空集合 S={x|a≤x≤b}，满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下四个命题：①若a=1，则S={1}；②存在实数a

设非空集合 S={x|a≤x≤b}，满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下四个命题：①若a=1，则S={1}；②存在实数a，b使得2∈S；③若 a=-12，则 14≤b≤1；④若12∈S，则0∈S．其中的真命题是______．

Answer 1

对于①，若a=1，必有b=1，否则b＞1，会有b²∈S，b⁴∈S…总可以找到一个数大于b，使得S不存在，故①正确
对于②，2∈S，则有4∈S，8∈S，总可以找到一个数大于b，使得S不存在，故②错误
对于③，若a=?

1

2

，则有

1

4

≤b≤1，a2＝

1

4

∈S，故③正确
对于④若

1

2

∈S，则

1

4

，

1

8

，

1

16

…∈S，若a＞0，必有一个数大于a使得S不存在，故④正确
故答案为：①③④