Question

已知函数f（x）=lgx?1x+1；（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；

已知函数f（x）=lgx?1x+1；（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求f（x）的值域．

Answer 1

（1）由

x?1

x+1

＞0，
∴（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1，其定义域关于原点对称．
f（-x）+f（x）=lg

?x?1

?x+1

+lg

x?1

x+1

=lg1=0，∴函数f（x）是奇函数．
（2）当x＞1时，f（x）单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg

x1?1

x1+1

?lg

x2?1

x2+1

=lg

(x1?1)(x2+1)

(x1+1)(x2?1)

，
∵（x₁-1）（x₂+1）-（x₁+1）（x₂-1）=2（x₁-x₂）＜0，
∴

(x1?1)(x2+1)

(x1+1)(x2?1)

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴当x＞1时，f（x）单调递增．
∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜-1时，f（x）也单调递增．
（3）∵当x＞1时，

x?1

x+1

＝1?

2

x+1

＜1，∴f（x）＜f（1）=0．
同理可得：当x＜-1时，

x?1

x+1

＝1?

2

x+1

＞1，∴f（x）＞f（1）=0．
∴函数f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）．