Question

设正方形ABCD的边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEG

设正方形ABCD的边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法作出的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，请求出a2，a3，a4的值；根据以上规律写出an的表达式an=（2）n-1an=（2）n-1．

Answer 1

∵正方形ABCD的边长为1的正方形，
∴a₁=1=（

2

）⁰，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AC=

2

，
∴a₂=

12+12

=

2

，
同理可得
a₃=

( 2 )2+( 2 )2

=2=（

2

）²
a₄=

(2)2+(2)2

=2

2

=（

2

）³，
…
∴a_n=（

2

）^n-1．
故答案为：2^n-1．