Question

如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别在AD，BC上，AN和BM交于点E，CM和DN交于点F，连结EF．（1）当M，

如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别在AD，BC上，AN和BM交于点E，CM和DN交于点F，连结EF．（1）当M，N分别为AD，BC的中点时，试判断四边形MENF的形状，并说明理由；（2）试探求：①当AM，BN满足什么条件时，一定有EF∥.12AD？并说明理由；②当AM，BN满足什么条件时，一定有四边形MENF为平行四边形？并说明理由．

Answer 1

解答：（1）解：四边形MENF是平行四边形．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∵M，N分别为AD，BC的中点，
∴AM=

1

2

AD，CN=

1

2

BC，
∴AM=CN，
又∵AD∥BC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥CM，
同理可得BM∥DN，
∴四边形MENF是平行四边形；

（2）解：①当AM=BN时，一定有EF

∥

.

1

2

AD．
理由如下：∵AM=BM，
∴DM=NC，
在△AEM和△NEB中
∵

∠MAE＝∠ENB AM＝BN ∠AME＝∠NBE

，
∴△AEM≌△NEB（ASA），
∴DF=NF，
同理可得出：ME=BE，
∴EF是△AND的中位线，
∴EF

∥

.

1

2

AD；

②当AM+BN=AD时，四边形MENF为平行四边形．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∵AM+BN=AD，BN+CN=BC，
∴AM=CN，
又∵AD∥BC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥CM，
同理可得BM∥DN，
∴四边形MENF是平行四边形．