Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B-PA-D的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

解答：解：设BD∩AC=O，则
∵ABCD是菱形，PB=PD，
∴BD⊥PO，BD⊥AC，
∵AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）∵PA=AC=a，PB=PD=

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a，∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC=a，∠PAB=∠PAD=90°，
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角，
∴二面角B-PA-D的大小为120°；
（Ⅲ）设F为PC中点，取PE中点G，连接FG、BG
设AC、BD交于O，连接OE
由PG=GE，PF=FC得GF∥EC
由DO=OB，DE=EG得OE∥BG
∴平面BGF∥平面AEC
∴BF∥平面AEC
∴F是PC中点时，BF∥平面AEC．