Question

数学难题：能否证明DE必定平行于BC？

O是△ABC的内心，过O的一条直线交AB于D,交AC于E。若DE=BD+CE,能否证明DE必定平行于BC?

Answer 1

一般来讲是不可以的，条件还是弱了一点。
比如说，角C是角B的两倍，且C和E重合的时候DE=BD+CE，但此时DE//BC不成立。

Answer 2

过O作D'E'//BC，设DE与D'E'夹角为a
BDsin(B/2)/sin(B/2-a)+CEsin(C/2)/sin(C/2+a)=BD+CE
=>BD*[sin(B/2)-sin(B/2-a)]*sin(C/2+a)=CE*[sin(C/2+a)-sin(C/2)]sin(B/2-a)
=>BD*2cos(B/2-a/2)sin(C/2+a)sin(a/2)=CE*2cos(C/2+a/2)sin(B/2-a)sin(a/2)
如果sin(a/2)=0，上式显然成立。此时DE//BC。
如果sin(a/2)不等于0，上式=>
BD*2cos(B/2-a/2)sin(C/2+a)=CE*2cos(C/2+a/2)sin(B/2-a)
BD*[sin(B/2+C/2+a/2)-sin(B/2-C/2-3a/2)]=CE*[sin(B/2+C/2-a/2)-sin(C/2-B/2+3a/2)]
显然C=2B， a=-B时，上式左边=0，右边CE=0，等式也成立。
所以，DE=BD+CE是DE//BC的必要条件，不是充分条件。