Question

求不定积分∫du/(u-(1+u^2)^0.5/2)。

对不起，表述不太清楚，是∫du/(u-((1+u^2)^0.5)/2)。

Answer 1

求不定积分：∫du/[u-(1/2)√(1+u²)]
解：令u=tanx，则du=sec²xdx，代入原式得：
原式=∫sec²xdx/[tanx-(1/2)secx]=2∫sec²xdx/(2sinxsecx-secx)=2∫secxdx/(2sinx-1)
=2∫dx/[(2sinx-1)cosx]=2∫dx/(sin2x-cosx)
（待续）

Answer 2

∫ du /[ u-(1+u^2)^0.5 /2]
= ∫ [u + (1+u^2)^0.5 /2 ] / [(1/4)(3u^2-1) ] du
(1) ∫ u / [(1/4)(3u^2-1) ] du = (2/3) ln (3u^2-1) + C
(2) ∫ (1+u^2)^0.5 /2 / [(1/4)(3u^2-1) ] du = 2 ∫ (1+u^2)^0.5 / (3u^2-1) du
令 u=tant,
∫ (1+u^2)^0.5 / (3u^2-1) du
= ∫ dt / [ ( 3(sint)^2-(cost)^2 ) cost ]
= ∫ d (sint) / [ ( 4(sint)^2 -1) (1- (sint)^2) ] x=sint
= ∫ dx / [(4x^2-1)(1-x^2)]
=......

Answer 3

2/3 (ArcSinh[u] - 2 ArcTanh[(2 u)/Sqrt[1 + u^2]] + Ln[1 - 3 u^2])