Question

一道极限问题

e^x-e^sinx/x-sinx 求当X趋于零时的极限。 我是这样做的：e^x-1/x-sinx -e^sinx-1/x-sinx 也就是把它们分开了，然后分子用等价无穷小，这样做为什么不对呢？这样拆分对吗？对上题这种形式的式子对分子用等价无穷小对吗？该题答案为1。谢谢高手来做答绝不吝啬给分
我就是想知道那样做为什么不对

Answer 1

(e^x-1)/(x-sinx ), (e^sinx-1)/(x-sinx ) 的分子都是 x 的等价无穷小，而分母是 x^3 的等价无穷小。
正确解法：e^x-e^sinx = e^sinx [ e^(x-sinx) - 1 ],
当 x->0时, e^(x-sinx) - 1 与 x - sinx 是等价无穷小，同时 e^sinx -> 1
原式 = 1.

Answer 2

如果是我的话 这个题目不会选择用等价无穷小来计算
很明显的分子分母将会在相当长的时间同时为0
那么最简便的方法就是罗比达法则
lim x->0 （e^x-e^sinx)/(x-sinx)
=limx->0 (e^x-cosxe^sinx)/(1-cosx)
=limx->0 (e^x-(cosx)^2e^sinx+sinx*e^sinx)/sinx
=limx->0 (e^x-(cosx)^3*e^sinx+2sinxcosx*e^sinx+cosxe^sinx+sinxcosx*e^sinx)/cosx
=（1-1+0+1+0)/1=1
觉得好请采纳
拆分有什么意义？还有你是在问怎么做吧？
为什么不对 没说不对 但是等价无穷小 此时等价不出来
即使拆分还是要靠 罗比达法则来完成运算
本质上没有任何改变