Question

关于微积分的问题

1，为什么sin x 的导数是 cos x？可以解释吗？
2，为什么∫ [1/(aa-xx)] dx = 1/2a ln |(a+x)/(a-x)| + C ？ 是否let x=a sin θ ？过程是怎样？【aa->a 的2次】
3，为什么∫[dx/ √(9xx+7)] = 1/3 ∫[ d(3x)/√((3x)2次+7)] =1/3 ln | 3x + √(9xx+7) | +C? 究竟第二步怎么跳去第三部的？公式吗？怎么证明？
谢谢！

Answer 1

哎呀 你还是没理解什么叫导数！
导数，直白的说 就是 我们在曲线上 找两点，并把两点连线 斜率 作为曲线的斜率。
当然，这两点越近，就越能准确的反应曲线的真实斜率。
所以我们总是 用△X→0来表示这两点距离无限接近，都和零距离一样了
严格的定义 推导你看下教材，你所给的题目都是关于定义的考察
我就推导一下第一个吧
由定义来推： （SinX）’= (△X→0){Lim【Sin(X+△X) - SinX】/ △X}
这里 由于X可以表示 SinX 上任意一点，具有普遍性，那么推导出的结果，就是关于X的表达式，也具有普遍性，我们就称之为 SinX的导函数。
分子用公式展开 Sin(X+△X) - SinX = SinX Cos△X + Sin△X CosX - SinX
整理 = Sin△X CosX - SinX (1 - Cos△X)
除以分母△X 原式=
（SinX）’= (△X→0){Lim CosX Sin△X / △X - SinX (1-Cos△X) /△X}
由于△X→0 则 Cos△X→1
∴ = CosX ×(△X→0)Lim(Sin△X) /△X
=Cos X
【 重要极限公式 (△X→0)Lim(Sin△X) /△X =1 】
另外 2 是公式 教材上有推导
3 第二步到第三步 也是 导数公式 公式列表里有
我们不可能每次求导都按定义来求 于是就有求出后的 列表，我们求导的时候就可以去查表
按表公式形式去求相应函数的导函数
但是 一些常用的形式 当然需要去记忆 你用多 了 就自然记住了

追问

真的很感谢你！可惜教材不在我身边……但要做作业……所以才要提问……有时候不想总是背公式，记忆力也不好。总之，很开心你能详细回答，如果能有推论的网址那些就好了.谢谢！