Question

∫（x^2+1）/[(（x+1）^2)(x-1)]dx请问怎么求？高等数学

Answer 1

本题是有理函数的不定积分，用待定系数法解之。令
A/(x+1)+B/[(x+1)^2]+C/(x-1)=(x^2+1)/[((x+1)^2)(x-1)]，则
A(x^-1)+B(x-1)+C[(x+1)^2]=x^2+1
从而A+C=1
B+2C=0
-A-B+C=1
解得：A=1/2，B=-1，C=1/2
因此∫（x^2+1）/[(（x+1）^2)(x-1)]dx
=(1/2)∫dx/(x+1)-∫dx/[(x+1)^2]+(1/2)∫dx/(x-1)
=(1/2)ln|x+1|+1/(x+1)+(1/2)ln|x-1|+C
=(1/2)ln|x^2-1|+1/(x+1)+C

追问

A/(x+1)+B/[(x+1)^2]+C/(x-1)我不太懂你这个，为什么不是A/(x+1)+B/(x+1）+C/(x-1)

追答

高等代数中多项式函数的分解

Answer 2

解：先对（x^2+1）/[(（x+1）^2)(x-1)]进行变形
设（x^2+1）/[(（x+1）^2)(x-1)]=(Ax+B)/(x+1)²+D/(x-1)
待定系数，可以求得 A=D=1/2 B=-1/2
于是原式=1/2∫[(x-1)/(x+1)²+1/(x-1)]dx 其中(x-1)/(x+1)²=1/(x+1)-2/(x+1)²
=1/2ln|(x²-1|+1/(x+1)+C （过程就不写了)

追问

设（x^2+1）/[(（x+1）^2)(x-1)]=(Ax+B)/(x+1)²+D/(x-1)
我不太懂这步，就是(Ax+B)/(x+1)²+D/(x-1)这里的为什么是(Ax+B)突然冒出一个(Ax+B)看不懂

追答

高等代数中多项式函数的分解，规律就是分母为二次多项式分子就是一次多项式，分母为一次多项式分子就为常数。（分母为N次多项式，分子设为N-1次多项式，待定对应系数）