Question

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=2x-x^2。(1)求y=f(x)的解析式

（2）画出函数y=f（x）的图像，并指出f（x）的单调区间以及在每个区间上的增减性。（3）若函数y=f（x）的定义域为[a,b],值域为[1/b，1/a]（1<=a<b），求实数a，b的值。

Answer 1

（1）y=f(x)是定义在R上的奇函数==>>f(-x)=-f(x)
x<=0时，-x>=0时,
f(-x)=2（-x）-（-x)^2=-2x-x^2=-f(x)
所以x<=0时f(x)=2x+x^2
当x>=0时,f(x)=2x-x^2
（2）f(x)=2x+x^2（x<=0）
=（x+1）^2-1
x=-1为对称轴，开口向上，增区间为（-1,0】，减区间（-∞,-1】
f(x)=2x-x^2（x>=0）
=-（x-1)^2+1
x=1为对称轴，开口向下，增区间为【0,1】，减区间【1，+∞）
（3）1<=a<b，[a,b]属于减区间【1，+∞）
f(x)max=f(a)=2a-a^2=1/a
f(x)min=f(b)=2b-b^2=1/b
所以a,b是方程2x^2-x^3=1的解
x^2+x^2-x^3-1=0
x^2(1-x)+(x+1)(x-1)=0
(1-x)(x^2-x-1）=0
x=1 or x^2-x-1=0
x=1 or x=(1+根号5)/2 or x==(1-根号5)/2
因为1<=a<b
所以a=1, b=(1+根号5)/2

追问

请解释一下：为什么1<=a<b，[a,b]属于减区间【1，+∞）
f(x)max=f(a)=2a-a^2=1/a
f(x)min=f(b)=2b-b^2=1/b
所以a,b是方程2x^2-x^3=1的解
谢谢

追答

1<=a<b说明a大于等于1，[a,b]中a的位置在数轴上1的右边，所以[a,b]属于减区间【1，+∞）
f(x)max=f(a)=2a-a^2=1/a
f(x)min=f(b)=2b-b^2=1/b
注意观察这两个式子除了a,b不一样外，其他的都是一样在，你把a,b用x来替换，
都可以得到2x^2-x^3=1这个方程，而a,b代入，可以让方程成立
所以a,b是方程2x^2-x^3=1的解