Question

高中数学大题，高手进！！！

已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c£R),对任意的x£R,恒有f'(x)<=f(x).(1)证明：当x>=0时，f(x)<=(x+c)^2;(2)若对满足题设条件的任意b,c不等式f(c)-f(b)<=M(c^2-b^2)恒成立，求M的最小值。
要过程！！！

Answer 1

楼主你好
以下是解析
（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可．
（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．
解：（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，
即x2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）2-4（c-b）≤0，从而 ．
于是c≥1，且 ，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）2-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥ = = ，
令t= 则-1＜t＜1， =2- ，
而函数g（t）=2- （-1＜t＜1）的值域（-∞， ）
因此，当c≥|b|时M的取值集合为[ ，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）-f（b）=-8或0，c2-b2=0，
从而 恒成立．
综上所述，M的最小值为
有些符号打不出来 望楼主见谅

Answer 2

f'(x)<=f(x）得2X+b≤x^2+bx+c得x^2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,即△=（b-2）^2-4(c-b)=b^2-4c+4≤0推出c≥b²/4+1≥1，c²-c=c(c-1)＞0，b-2c≤-b²/2+b-2对于函数y=-b²/2+b-2易知△=-3＜0所以-b²/2+b-2＜0恒成立，即b-2c＜0
（1）证明：当x>=0时，f(x)<=(x+c)^2即证（b-2c）x≤c^2-c因为b-2c＜0、x≥0且c²-c＞0，所以b-2c）x≤c^2-c得证，即f(x)<=(x+c)^2得证
（2）f(c)-f(b)<=M(c^2-b^2)恒成立，即c²-2b²+bc≤m(c²-b²)恒成立①，由c≥b²/4+1推出c-b=b²/4-b+1=(b/2-1)²≥0恒成立，所以c≥b,c²-b²≥0由①知m≥1+(bc-b²)/(c²-b²)推出m≥1+b/(b+c),又c≥b,所以b/(b+c)≤1/2,所以m≥3/2,m最小值是1.5

Answer 3

1，f'(x)<=f(x） 2x+b<=x^2+bx+c, x^2+(b-2)x+c-b>=0,则 [(b-2)/2]^2=c-b, b^2+4=4c,c=(b^2/4)+1
f(x)-(x+c)^2=x^2+bx+c-(x^2+2cx+c^2)=(b-2c)x+c-c^2=[b-2(b^2/4+1)]x+(b^2/4)+1-[(b^2/4)+1]^2

因为b-2(b^2/4+1)]=b-b^2/2-2=-1/2(b^2-2b+4)=-1/2(b-2)^2<=0, x>=0, (b^2/4)+1-[(b^2/4)+1]^2=(b^2/4)+1-b^4/16-b^2/2-1= -b^4/16-b^2/4<=0
所以，[b-2(b^2/4+1)]x+(b^2/4)+1-[(b^2/4)+1]^2<=0,即f(x)-(x+c)^2<=0,也就是f(x)<=(x+c)^2。
2， 将c=(b^2/4)+1，带入不等式，即可求解。

Answer 4

哥们 这题你确定有答案？