Question

已知a+b+c，b+c-a，c+a-b成等比数列，且公比为q，求证q三次方+q²+q=1，q=a/c

Answer 1

若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q，求证q三次方+q²+q=1，q=a/c
【证明】
因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列，公比为q
则有：（b+c-a）/（a+b+c）=q
（c+a-b）/（a+b+c）=q^2
(a+b-c）/（a+b+c）=q^3
将以上三式相加，得：q+q^2+q^3={(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)}/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1
所以：q+q^2+q^3=1

因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列，公比为q
所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q
∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.