Question

数学问题求解 要过程 ·

已知函数y=f（x）对任意实数均有f（x）=kf（x+2），其中k＜0，且f（x）在区间[0，2]上的表达式为已知函数y=f（x）=x（x-2)
(1）求f(-1),f（2.5）
（2)写出f(x)在区间[-3,3]的解析式，并讨论f（x）在[-3,3]上的单调性。

Answer 1

这是10年广东文科卷的题目，LZ问的是它的前两问
（1）∵f（x）=kf（x+2），且x∈[0,2]时y=f（x）=x（x-2)
∴f（-1）=kf（-1+2）=kf（1）=-k
由f（x）=kf（x+2），f（x+2）=f（x）/k
∴f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）/k=-3/4k
（2）
若x∈（0,2]则x+2∈（2,4]
∵f（x+2）=f（x）/k=x（x-2）/k=（x+2-2）（x+2-4）/k
∴x∈（2,4]时，f（x）=（x-2）（x-4）/k
若x∈[-2,0），则x+2∈[0，2）
∴f（x+2）=（x+2）[（x+2）-2]=x（x+2）
∴f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）
若x∈[-4，-2），则x+2∈[-2,0）
∴f（x+2）=k（x+2）[(x+2)+2]=k（x+2）（x+4）
∴f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）
∴x∈[-3,3]时
f（x）=k²（x+2）（x+4） x∈[-3，-2）
=kx（x+2） x∈[-2,0）
=x（x-2） x∈[0,2]
=（x-2）（x-4）/k x∈（2,3]
∵k<0
∴x∈[-3，-2）时f（x）=k²（x+2）（x+4）为增函数
x∈[-2,0）时f（x）=kx（x+2），在[-2，-1]上为增函数，在[-1,0）上为减函数
x∈[0,2]时f（x）=x（x-2），在[0,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数
x∈（2,3]时=（x-2）（x-4）/k ，为增函数
以上所有增减判断都是由二次函数图象规律得到的，确切的说是对二次函数y=ax²+bx+c，a<0时对称轴左侧为增函数右侧为减函数，a>0时对称轴左侧为减函数右侧为增函数，至于对应对称轴的点既属于增区间也属于减区间。

Answer 2

1455288666

Answer 3

（1）∵f(x)=kf(x+2) ∴f（0.5）=kf（2.5）=f（0.5）/k=-3/（4k）
同理f（-1）=kf（1）=-k
（2）∵f（x）=kf（x+2） ∴f（x+2）=f（x）/k
因此f（2）到f（3）可换为f（0+2）到f（1+2）
即x∈【0,1】时f（x+2）=f（x）/k 因为【0,1】包含于【0，2】
所以f（x+2）=x*（x-2）/k 所以f（t）=（t-4）（x-2）/k t∈【2,3】
即f（x）=（x-4）（x-2）/k x∈【2,3】
同理当x∈【0,2】时 f（x）=x*（x-2）
当x∈【-2,0】时f（x）=kx（x-2）
当x∈【-3，-2】时f（x）=k²x（x-2）
然后根据导函数兴致球员函数单调性