Question

设随机变量X的概率分布为P（X=k）=Aλ^k/k!(k=1,2,3,…,λ＞0)求常数A=

想知道答案，谢谢！

Answer 1

lim k->无穷 A(λ/1+λ²/2!+.....λ^k/k!)=1
根据定义e^λ=lim k->无穷 1+λ/1+λ²/2!+.....λ^k/k!
1是常数，所以e^λ-1=lim k->无穷 λ/1+λ²/2!+.....λ^k/k!

带回原式得
A (e^λ -1)=1
A= 1/{(e^λ)-1}
特别注明指数是λ,之后再-1，不是指数λ-1

Answer 2

由概率的正则性知:∑[k=1,+∞] P(x=k)=1
所以A(∑[k=1,+∞]λ^k/k!)=1
所以A(e^λ-1)=1 因为e^x=1+x+x^2/2!+....=∑[k=0,+∞]x^k/k!
所以A=1/(e^λ-1)