Question

高中数学椭圆问题

如图，已知F1，F2是椭圆C：（x^2）/(a^2)+（y^2）/(b^2)=1（a>b>0）的左、右焦点，点P在在椭圆C上，线段PF2与圆(x^2)+(y^2)=(b^2)相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为_______。
答案是√5/3
要详细过程，回答好的加倍酬谢

Answer 1

左焦点F1
连接F1P，OQ
由切线的性质，则OQ⊥PF2，
又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点
OQ∥F1P PF2⊥PF1
OQ=b⇒PF1=2OQ=2b
椭圆有|PF1|+|PF2|=2a
故|PF2|=2a-2b，
|F1F2|=2c
由勾股定理|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²
得4c²=4b²+4(a²-2ab+b²)
解得：b=2/3a
则c= √5a/3
故椭圆的离心率为e=c/a=√5/3

追问

有没有简单的方法

Answer 2

连接F1和P点，根据椭圆定义，PF1+PF2=2a
Q与O都是三角形两边的中点，中位线有吧，切线有吧，
三角形的角P就是直角，F2Q=根号下（c平方-a平方） PF2=2b
得第一个关系式 根号下（c平方-a平方） + b =a
再有第二个关系式 c平方+b平方=a平方
用c平方=a平方-b平方代入第一个关系式，移项，平方，化掉根号，得出 b/a =2/3
e=c/a= 根号下（1- b平方/a平方）=根号下（1- 4/9）=根号下（5/9）=答案√5/3

我的解法不复杂啊，很清楚的，你对照图形理解就好了