Question

数学求助！

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，角ABC=90°，点E是CD的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M,点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA。
（1）若角MFC=120°，求证：AM=2MB。
（2）求证：角MPB=90°-1/2 角FCM

Answer 1

第一问：连接MD，因为点E为线段DC的中点且ME垂直于DC，
所以MD=MC
又MA=MF、CF=AD
所以△AMD全等于△MFC
∵∠MFC=120°
∴∠MAD=120°
则∠MAB=30°
∴AM=2MB

第二问：要求∠MPB=90°-1/2∠FCM
即求证∠PMB=1/2∠FCM
由（1）问知∠FCM=∠MDA，∠CMF=∠DMF
又∵AD//MC
∴∠MDA=∠CMF+∠DMF
∴
∠PMB=1/2∠FCM
则∠MPB=90°-1/2∠FCM得证

Answer 2

（1）根据已知条件可以知道三角形MAD全等于三角形MFC，因为CF=AD，MF=MA，ME是DC的垂直平分线，所以MD=MC；
所以角MAD=角MFC=120°，所以角MAB=120-90=30度，所以AM=2MB，30度所对的直角边是斜边的一半。

Answer 3

答（1）：连MD； 由题可得ME为CD中垂线，所以CM=DM； 已知CF=AD,MF=MA，所以△ADM=△CFM； 所以∠MAD=∠MFC=120°；又因为直角梯形，所以∠ABC=∠BAD=90°，所以∠MAB=120°-90°=30°，所以AM=2MB，得证
（2）再连DF； 由题可得△MCF=△ADM=△MDF；设∠MPB=x，∠FCM=y，则需证x=90°-1/2y；且∠AMD=∠CMF=∠DMF=90°-x，∴∠AMB=270°-3x，∠MAB=90°-∠AMB=3x-180°；又∵∠CFM=180°-y-（90°-x）=90°+x-y，同时∠MAD=∠MAB+90°=3x-90°，∴∠MAD=∠CFM，即3x-90°=90°+x-y，计算得x=90°-1/2y，得证